درسنامه آموزشی فصل سوم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی
درس 1: تابع نمایی
آیا تاکنون با خود فکر کردهاید که دانشمندان چگونه قدمت یک شیء باستانی یا یک فسیل را پیدا میکنند؟ در بدن هر موجود زنده کربن 14 موجود است که با مرگ آن موجود، کربن 14 شروع به از بین رفتن میکند. بنابراین با اندازهگیری مقدار کربن باقی مانده، میتوان سن آن شیء یا موجود را پیدا کرد. در حل این گونه مسائل از تابعنمایی استفاده میشود.
فعالیت (صفحه 72 کتاب درسی)
یک توده باکتری را در محیط کشت در نظر بگیرید. فرض کنید با نمونهگیری از این جامعه، مشخص شده است که جرم باکتریها در هر ساعت دو برابر میشود. اگر جرم باکتریها را پس از $t$ ساعت با $m(t)$ نشان دهیم و با 1 گرم شروع کنیم یعنی $m(0) = 1$، آنگاه باتوجه به جدول، به پرسشهای زیر پاسخ دهید.
| $m(t)$ جرم باکتریها | $t$ زمان (ساعت) |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 8 | 3 |
| 16 | ? |
| ? | 5 |
| ? | 6 |
| . . . |
. . . |
| 1024 | ? |
الف) در زمانهای $t = 6$ و $t = 5$ جرم باکتریها را بهدست آورید.
ب) پس از چند ساعت جرم باکتریها 256 گرم میشود؟ پس از چند ساعت به 1024 گرم میرسد؟
پ) آیا از اعداد این جدول میتوان الگویی را برای محاسبه جرم باکتریها در هر زمان بهدست آورد؟
اگر بخواهیم جرم باکتریها را در مرحلهٔ یازدهم یا مرحلهای بالاتر پیدا کنیم، قطعاً محاسبات، خیلی دشوارتر و وقتگیر خواهد شد. برای سادهتر شدن محاسبات، جدول بالا را بر اساس توانهای 2، بازنویسی میکنیم تا جدول زیر حاصل شود. در جدول زیر به جای علامت سؤالها اعداد مناسب قرار دهید.
| $m(t)$ | $t$ |
| ${2^0} = 1$ | 0 |
| ${2^1} = 2$ | 1 |
| ${2^2} = 4$ | 2 |
| ? | 3 |
| . . . |
. . . |
| ${2^9} = ?$ | ? |
نمودار زیر رابطهٔ بین زمان و جرم باکتریها را نشان میدهد. با توجه به فعالیت قبل، جرم باکتریها در پایان ساعت اول، دوم، ... و $n$ام از دنباله زیر بهدست میآید:
${2^1},{2^2},{2^3},....\,,{2^n}$
به عبارت دیگر، جرم باکتری ها برحسب زمان $t$، از رابطه $m(t){2^2}$ بهدست میآید.
فعالیت (صفحه 73 تا 74 کتاب درسی)
در نمودار فعالیت قبل، طول نقاط مشخص شده اعداد صحیح نامنفی هستند. میتوان نقاطی از آن نمودار، با طول اعداد گویا را نیز بهدست آورد.
الف) جاهای خالی جدول را با قرار دادن اعداد مناسب پر کنید.
| 3 | 2 | $\frac{3}{2}$ | 1 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | 0 | 1- | 2- | 3- | $x$ |
| ... | ... | ${2^{\frac{3}{2}}}$ | ... | ${2^{\frac{2}{3}}}$ | ... | ${2^{\frac{1}{3}}}$ | ${2^0}$ | ... | ... | ${2^{ - 3}}$ | ${2^x}$ |
| ... | ... | $\sqrt 8 \simeq 2/83$ | ... | $\sqrt[3]{4} \simeq 1/56$ | $\sqrt 2 \simeq 1/4$ | $\sqrt[3]{2} \simeq 1/26$ | ... | ... | ... | $\frac{1}{8}$ | $f(x)$ |
ب) نقاط بهدست آمده را در یک صفحهٔ شطرنجی مشخص کنید (برخی از نقاط در دستگاه مشخص شدهاند).
همانطور که ملاحظه میشود دامنهٔ تابع $y = {2^x}$ همهٔ اعداد حقیقی و برد آن همواره اعداد مثبت است.
اگر تعداد نقاط خیلی زیاد شوند، شکلی شبیه نمودار زیر حاصل می شود.
پ) چرا نمودار بالا یک تابع است؟
ت) نقطهٔ $x = \sqrt 2 $ را روی محور $x$ها مشخص کنید، سپس مقدار ${2^{\sqrt 2 }}$ را با استفاده از نمودار پیدا کنید.
ث) کدام یک از اعداد زیر، بین دو عدد ${2^3}$ و ${2^2}$ قرار دارد؟
${2^{\frac{5}{2}}}$
${2^{\frac{3}{2}}}$
${2^5}$
${2^{ - 1}}$
ج) چرا نمودار تابع $y = {2^x}$ محور $x$ها را قطع نمیکند؟
کاردرکلاس (صفحه 75 کتاب درسی)
الف) نمودار تابع $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ را رسم کنید و آن را با نمودار $y = {2^x}$ مقایسه کنید.
ب) دامنه و برد تابع را بهدست آورید.
پ) نقطه $\left( {0/5,{{(\frac{1}{2})}^{0/5}}} \right)$ را روی نمودار مشخص کنید.
مثال: توابع زیر همگینمایی هستند:
$g(x) = {(\frac{1}{2})^x}\,,\,h(x) = {(\frac{3}{2})^x}\,,\,f(x) = {(3/14)^x}$
تذکر: در حالت کلی هر تابع با ضابطه $h(x) = k{a^x}$ $(k \ne 0\,,\,a \gt 0\,,\,a \ne 1)$ رفتار نمایی دارد. بهعنوان مثال، توابع $f(x) = 3 \times {2^x}$ یا $g(x) = {(\frac{2}{5})^{x - 1}}$ رفتار نمایی دارند.
مثال: اگر 10 گرم نمک را به مقدار کمی آب اضافه کنیم، مقدار نمک حل نشده در آب پس از $t$ دقیقه از رابطه $q(t) = 10{\left( {\frac{4}{5}} \right)^t}$ بهدست میآید. بنابراین پس از مثلاً 4 دقیقه، مقدار نمک حل نشده در آب برابر است با:
$q(4) = 10{\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} \simeq 4/096gr$
نمودار این تابع برای $0 \leqslant t \leqslant 5$ در شکل زیر رسم شده است.
مثال: فرض کنید $Q$ جرم یک مقدار کربن 14 برحسب گرم با نیمه عمر 5730 سال باشد (یعنی پس از 5730 سال نصف مقدار معینی از آن از بین میرود). مقدار این کربن بعد از $t$ سال از رابطه $Q(t) = 10{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}}$ بهدست میاید.
الف) در لحظه $t = 0$ داریم $Q(0) = 10gr$ و بعد از 2000 سال داریم
$Q(2000) = 10{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{2000}}{{5730}}}} \simeq 7/85gr$
ب) اگر $t = 5730$، آنگاه $Q(5730) = 10 \times \frac{1}{2} = 5gr$ یعنی بعد از 5730 سال، مقدار کربن 14 نصف میشود.
کاردرکلاس (صفحه 76 تا 77 کتاب درسی)
1) نمودارهای سه تابع $f(x) = {2^x}$، $g(x) = {3^x}$ و $h(x) = {5^x}$ در شکل (1) رسم شدهاند. ضابطه هر تابع را روی نمودار آن بنویسید.
2) دامنه و برد هر تابع را بنویسید.
3) آیا این توابع یک به یک هستند؟ چرا؟
4) نمودارهای توابع $u(x) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$، $v(x) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ و $t(x) = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}$ در شکل (2) رسم شدهاند. ابتدا ضابطه هر یک را روی نمودار آن بنویسید و سپس دامنه و برد آنها را بهدست آورید. آیا این توابع یک به یک هستند؟
5) الف) اعداد مقابل را از کوچک به بزرگ مرتب کنید:
${2^4}\,,\,{(\frac{1}{2})^2}\,,\,{2^2}\,,\,{2^3}\,,\,{(\frac{1}{2})^4}\,,\,{(\frac{1}{2})^3}$
ب) جاهای خالی را پر کنید:
در تابع $f(x) = {a^x}$،
- اگر $a \gt 1$، با افزایش مقدار $x$، مقادیر $f$ ........ مییابند.
- اگر $0 \lt a \lt 1$، با افزایش مقدار $x$، مقادیر تابع $f$ ........ مییابند.
تمرین (صفحه 77 تا 79 کتاب درسی)
1) تحت شرایط ایدهآل، جرم یک تودهٔ معین از باکتریها در هر ساعت دو برابر میشود. فرض کنید در ابتدا 100 میلیگرم باکتری وجود دارد.
الف) جرم توده پس از $t$ ساعت را بهصورت یک تابع نمایی بنویسید.
ب) جرم توده را پس از 20 ساعت برآورد کنید.
2) نمودار توابع $y = {2^x}$، $y = {2^x} + 1$ و $y = {2^x} - 1$ در شکل زیر آمدهاند. ضابطه هر تابع را روی آن مشخص کنید. با مقایسه نمودارهای توابع $y = {a^x}$، $y = {a^x} + 2$ و $y = {a^x} - 2$ با یکدیگر چه نتیجهای میگیرید؟ $(a \gt 1)$.
3) داروها در بدن با ادرار دفع می شوند. فرض کنید 10 میلی گرم از یک نوع دارو در بدن شخصی قرار دارد و مقدار آن پس از $t$ ساعت از رابطه $A(t) = 10{(0/8)^t}$ بهدست میآید.
الف) مقدار دارو پس از 8 ساعت چقدر است؟
ب) چه درصدی از دارو در هر ساعت از بین میرود؟
4) الف) سه عدد بین اعداد ${3^{2/5}}$ و ${3^{\sqrt {10} }}$ پیدا کنید.
ب) نامعادلهٔ توانی ${4^{2x - 1}} \gt \frac{1}{{1024}}$ را حل کنید.
پ) اگر $x$، $y$ و $z$ سه عدد حقیقی باشند، بهطوری که ${a^x} \gt {a^y} \gt {a^z}$ آنگاه چه رابطهای بین $x$ و $y$ و $z$ برقرار است؟ $(a \gt 1)$.
5) ابتدا مقدار تقریبی هر عدد را به کمک نمودار پیدا کنید. سپس به کمک ماشین حساب، درستی پاسخ خود را بررسی کنید.
الف) ${3^{1 - \sqrt 2 }}$
ب) ${2^{1/25}}$
پ) ${3^{\frac{3}{2}}}$
|
|
|
6) الف) در شکل زیر خط $y = \frac{{13}}{2}$ نمودار $y = {2^x}$ راقطع کرده است. طول نقطه برخورد بین کدام دو عدد صحیح قرار دارد؟ چرا؟
ب) خط $y = \sqrt 7 $ را رسم کنید. طول نقطه برخورد این خط و نمودار $y = {2^x}$ بین کدام دو عدد صحیح قرار دارد؟
7) در تصفیهٔ آب، داخل فیلترها، لایهٔ تمیز کنندهای قرار دارد که حدود 30 درصد از ناخالصیها را حذف میکند و در نتیجه 70 درصد از ناخالصیها باقی میماند. اگر داخل این فیلترها، دو لایه قرار دهیم، آنگاه $0/7 \times 0/7 = 0/49$ یا 49 درصد از ناخالصیها باقی میماند.
الف) درصد ناخالصیهای موجود در آب از کدام رابطه بهدست میآید؟
ب) با قرار دادن چند لایه در فیلتر میتوان بیش از 96 درصد از ناخالصیهای آب را از بین برد؟
